Tópicos avanzados de la mecánica clásica (AFE-20)

Número de créditos: 10

Horas a la semana: 10

Teoría: 6

Practica: 4

Requisitos: AFB-1, AFB-2, AFB-3

Clave: AFE-20

Asignatura: Especifica

Descripción de la asignatura: La formulación de la Mecánica Clásica basada en un principio variacional (mínima acción) además de elegante contiene muchas ventajas tanto teóricas como técnicas al momento de atacar diversos problemas. Quizá una de las ventajas más importantes de este formalismo no vectorial de la física clásica es el enlace que se da con la mecánica cuántica por medio de cuantización canónica, integral de camino o bien cuantización por deformación. Por otra parte el principio de mínima acción se puede ampliar a sistemas que no se atacan en mecánica como electrodinámica, física de partículas, relatividad general, teoría de cuerdas, alguno de estos casos lejos del alcance del formalismo en que se plantea la mecánica clásica usual. El estudio de la presente materia repercute directamente en la Orientación de Física Matemática. Al finalizar el curso el estudiante tendrá las herramientas matemáticas y el conocimiento de los problemas físicos para proponer nuevas soluciones a problemas ya resueltos de forma tradicional.

Contenidos:

•  Formas diferenciales.

•  Variedades Simplécticas.

•  Formalismo Canónico.

•  No-conmutatividad.

•  Formalismo de Nambu.

Índice Temático:

1.  Formas  diferenciales.  Formas  externas.  Multiplicación  externa.  Formas diferenciales. Integración de formas diferenciales. Diferenciación externa.

2.  Variedades Simplécticas. Estructuras Simplécticas en variedades. Álgebra

de Lie de campos vectoriales. Álgebra de Lie de funciones hamiltonianas. Geometría Simpléctica. Atlas simpléctico.

3.  Formalismo   Canónico.      La   integral   invariante   de   Poincaré-Cartan.

Aplicaciones  de  la  integral  invariante  de  Poincaré-Cartan.  Principio  de

Hugens. Método de Hamilton-Jacobi. Funciones generadoras.

4.  No conmutatividad.   Introducción. Teorema de Darboux. Mecánica clásica no conmutativa. Producto Moyal. Principio de Incertidumbre Generalizado.

Aplicaciones.

5.  Formalismo  de  Nambu.  Introducción.  Corchetes  canónicos  de  Nambu.

Variedades    de    Nambu-Poisson.    Formalismo    Canónico    y    acción. Cuantización. Aplicaciones.

Bibliografía Básica:

•   Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics (Springer, 2000).

•    Leon  a.  Takhtajan  Quantum  Mechanics  for  mathematicians  (American mathematical Society, 2008.

•   Darryl D Holm, Geometrics Mechanics Part I (Imperial College Press, 2008).

•   L. Takhtajan, On Foundation of Generalized Nambu Mechanics (Comm.

Math. Phys. Volume 160, Number 2 (1994), 295-315, 2006).

Bibliografía Complementaria:

•    C. Godbillon, Geometrie Differentielle et Mecanique analytique (Hermann- Paris, 1969).

•   M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, Second Edition (Graduate

Student Series in Physics) (Taylor & Francis, 2003).

•   G.  F.  Simmons,  Introduction  to  topology  and  modern  analysis  (Krieger

Publishing company, 2003).

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